欧姆社 傅里叶解析 学习笔记

欧姆社傅里叶解析学习笔记

函数的正交

在一个周期上,函数之积的积分为0的两个函数成为相互正交。

对于三角函数来说有如下性质:

$\sin nx$与$\cos nx(n \in N+)$正交,
$\sin nx$与$\sin mx(n, m \in N
+ \text{且}m \neq n)$正交。

证明:

$$\int^{2\pi}{0} \sin nx \cdot \cos nx\ \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int^{2\pi}{0} \sin 2nx \ \mathrm{d}x = \frac{1}{4}\int^{2\pi}{0} \sin (n\cdot2x) \ \mathrm{d}(2x) = -\frac{1}{4}[\cos 2nx]^{2 \pi}{0} = 0$$

$$\int^{2\pi}{0} \sin nx \cdot \sin mx \ \mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\int^{2\pi}{0}\cos(n + m)x - \cos(n - m)x\ \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int^{2\pi}0 \cos(|n - m|) \ \mathrm{d}x- \frac{1}{2} \int^{2\pi}{0} \cos(n + m) \ \mathrm{d}x = 0 - 0 = 0$$

那$n = m$呢?这个时候会奥妙重重的出现$\int^{2\pi}_{0}\sin^2x\ \mathrm{d}x$,这玩意显然会陷入尴尬的情景,比如恒大于0所以不可能周期内积分为0.当然我们还是很好奇它的积分究竟是什么:

$$\int^{2\pi}_{0} \sin^2x \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int^{2\pi}0 (1 - \cos 2x) \mathrm{d}x = \frac{1}{2}(\int^{2\pi}{0} 1\ \mathrm{d}x - \frac{1}{2}\int^{2\pi}{0} \cos 2x \ \mathrm{d}(2x))=\frac{1}{2}([x]^{2\pi}{0} - \frac{1}{2}[\sin2x]^{2\pi}_{0}) = \pi$$

其实我们完成了电流有效值的证明

傅里叶变换的准备知识

同周期三角函数的加法

如何合成$a \cos x + b\sin x$?这个我们都会做:辅助角搞一搞就好了。

首先有这样一个结论:对于正交函数来说,两者无法互相通过组合得出对方的表达式。例如,我们无法通过改变$b\sin x$得到$\cos x$。

然后我们用矢量的角度来理解三角函数的和。由于$\sin x$与$\cos x$正交,所以我们可以看做圆周上两个矢量的相加:

得到一个模为$\sqrt{a^2 + b^2}$的新矢量。这也是辅助角公式的几何意义。

换言之,这样我们可以通过改变$a$和$b$得到不同的振幅和相位,但不能改变周期。

不同周期三角函数的加法与傅里叶级数

先看几个。

是不是觉得很神奇……

我们定义傅里叶级数为:

$$F(x) = \frac{1}{2} + \sum^{\infty}_{n = 1}(a_n \cos nx + b_n \sin nx)$$

定义$a_i$与$b_i$为傅里叶系数,这些值决定振幅。

如果我们取这样一个函数:$F(x) = \sum^{\infty}_{i = 1} \dfrac{1}{i} \sin ix$,它的函数图像我们称之为锯齿波。

而我们取这样一个函数:$F(x) = \sum^{\infty}_{i = 1} \frac{1}{2i-1} \cdot \sin (2i-1)\pi$,这样得到的图像叫方波。

这两种波形声音特点比较明显。方波是边缘比较柔和的声音,而锯齿波是边缘比较锋利的声音。

时间函数与频率谱

假如我们绘制一个$\omega$与$y$的函数并表示出来,来维护每一个周期不同的函数的振幅,得到的就是频率谱。

任意加起来的函数一定是周期的,而在现实问题中我们可以就一段函数来使之重复并出现周期现象再进行傅里叶变换。

而将一段声波分析的过程我们称为变换。用傅里叶变换分析的方法,也就是求解原波形由哪些频率的波以怎样的方式组合而成的方法叫做傅里叶解析。

傅里叶解析

研究频率成分

假定我们取出一个区间,将其当做最大周期。例如取出1s,那么得到的频率就是1Hz。

然后我们从最低的频率开始到计算中可能出现的最高频率一一分析,而这一过程的实现我们用一种叫滤波器的东西。

然后将分解出来的频率成分的量排开,得到的就是频率谱。

现在我们把重点放在第二部分:分析频率

分析频率

我们应该还记着傅里叶系数的定义是什么。现在已知$F(x)$,求解系数,这个操作是基于函数正交的。

假定我们要求解$a_n \cos nx$,则令$F(x) \cdot a_n \cos nx$,然后对$F(x)$求定积分。这样的意义在于,所有不含$\cos nx$的项都会消掉。这样是非常舒适的。

考虑到$\int^{2\pi}_0 \sin x \mathrm{d}x = \int^{2\pi}_0 \cos x \mathrm{d}x = \pi$,所以我们可以得到这样的结论:

$$a_n = \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 F(x) \cdot \sin x \ \mathrm{d}x,b_n = \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 F(x) \cdot \cos x \ \mathrm{d}x$$

可能你会问,$a_0$去哪了?其实我相信各位都有这样一个问题:为什么是$\frac{1}{2} a_0$?原因是这样的。$a_0 = a_0 \cdot \cos 0$,因而带入上述公式得到:$a_0 = \frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_0 F(x)\ \mathrm{d}x$。而我们考虑积分的定义,发现这一部分的面积应该实际上等于$2\pi a_0’$,换言之面积是$a_0’ = \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0 F(x)\ \mathrm{d}x$。因此我们才要令$\frac{1}{2} a_0 = a_0’$以保持一致性。

最后,我们令$r_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$,画出$r_n-f$图线,就得到了频率谱。其中$f$为频率,有$f = 2\pi \omega$

分析声音

首先,我们先用示波器将声波转换为波形。当然,这个事情的实现用AU之类就可以。

事实上,声卡就是用来将电信号转化为数字信号的工具。

下面我们用cool edit的频谱分析器做一些分析。

先看元音:

a

i

u

e

o

是不是觉得差不多。。我也觉得。。

不过a和o是最像的,u比较靠前,这些东西还是能看出来的。

然后来看一些音阶。

有没有发现这两个波形差了两倍?这两个do横跨一个音阶,而频率恰好呈现二倍的关系。

事实上,每一个音阶是呈等比数列的。

实线恰好对应了黑键,而虚线对应白键,两个之间的频率之差恰好相差$\sqrt[12]{2}$。

观察一下发现,do和so之比为2:3,非常简单。事实上,频率之比较为简单的两个音容易互相加强,例如,do mi so的和音。当然,和音之间虽然会互相削弱,但是也会音更加浓厚。

类似的,如果一个人的声音出现峰值的峰值近似成简单的自然数之比,那么这个人的声音就很好听。

于是我就证明了自己不适合唱歌。沮丧。

最后看这个波形,是逐梦演艺圈的伴奏:

由此可知,逐梦演艺圈是有多糟糕。。

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